ペットは家族の一員です。災害時には、ペットを「同行避難する」のが基本です（環境省『災害時におけるペットの救護対策ガイドライン』）。
それは、災害発生後、飼い主とペットが離れ離れになっている時に、けがや繁殖してしまう場合があるからです。

どんな災害でもネコといっしょ:ペットと防災ハンドブック (小学館 GREEN MOOK)

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徳田 竜之介
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しかし、ペットと共に避難所へ行っても、動物アレルギーのある人や苦手な人もいるので、避難所で一緒に生活するのは難しいです。さらに、支援物資も充分に確保できるかどうかわからない時に、ペット用の物資は期待できそうにありません。
そこで、日頃からペット用の防災用品・食料などを、飼い主が準備しておくことや、避難所生活をしなくてもよいように、自宅の防災・減災の備えをしておく必要があります。

この本の中では、監修している德田氏が、自身の動物病院をペットとの同行避難所として、熊本地震の際に開放したという話が載っています。しかしまだ、各地域にこのようなペットと同行避難し、一緒に生活ができる避難所となり得る場所は、とても珍しいケースであり、それをあてにしてしまうのは難しいと思われます。災害発生後にペットと一緒に生活できる場については、まだこれから、地域ぐるみで考えていかなければならないことですね。
ペットを飼っている方は、まずは、自分たちでできる備えを考え、行動に移してください。そのためにも、この本を参考にしてくださいね。